Проблемы очередей

Решение.При условии, что будет выбрано оборудование 1-го типа, вычислим среднее время ожидания клиентов в очереди на мойку (для оборудования 1-го типа μ = 12 в час). Воспользовавшись уравнениями для модели 2

( табл. 5.2), получаем

Показатель м для оборудования 2-го типа равен 15, следовательно

Если единственным критерием является время, которое клиентам приходится проводить в очереди, то компании следует приобрести оборудование 2-го типа. Однако, прежде чем принять окончательное решение, необходимо определить, как отличаются показатели прибыльности обоих видов оборудования. Если приобрести оборудование 1-го типа, то, несомненно, вследствие длительного времени ожидания (12,5 минут) некоторые клиенты не станут в очередь либо сначала станут, но вскоре покинут ее. Кроме

того, хоть это и значительно затрудняет математический анализ, мы можем получить приблизительную оценку потерянных объемов продаж при использовании оборудования 1-го типа. Для этого мы изменим время ожидания на 5 минут

или 0,12 часа (среднее время, которое готовы ожидать клиенты) и решим

уравнение для λ. Это даст нам показатель интенсивности входящего потока клиентов:

Таким образом, поскольку первоначальный показатель л составлял 10 клиентов в час, то по предварительным расчетам .Таким образом, поскольку первоначальный показатель л составлял 10 клиентов в час, то по предварительным расчетам получается, что фирма будет терять 2 клиента в час. При этом не полученная компанией прибыль составит:

2 клиента в час х 14 часов х 0,2 (прибыль 0,70 долл. за заправку + прибыль 0,40 долл. за мойку) = 15,40 долл. в день. Таким образом, поскольку дополнительные затраты на приобретение оборудования 2-го типа по сравнению с оборудованием 1-го типа составляют всего 4 долл. в день, потеря 15,40 долл. в день несомненно указывает на то, что приобретать следует оборудование 2-го типа. Кроме того, данное оборудование удовлетворяет исходному требованию относительно предельного времени ожидания, которое составляет 5 минут. Вариант же приобретения оборудования 3-го типа не рассматривается вообще, во всяком случае до того, пока специалисты не спрогнозируют увеличение входящего потока.

Пример 5д.З. Определение количества каналов обслуживания

В автосервисном отделе компании Glenn-Mark Auto Agency механики, которым понадобились запасные части для ремонта и технического обслуживания автомобилей, предоставляют бланки-заявки в отдел запасных частей. Клерк отдела заполняет эти заявки в присутствии механика. Механики приходят произвольно (распределение Пуассона), со средней интенсивностью 40 человек в час; клерк способен заполнить 20 заявок в час (экспоненциальное распределение). Если стоимость труда клерка составляет 6 долл. в час, а стоимость труда механика--- 12 долл. в час, определите оптимальное количество клерков для обслуживания механиков. (Поскольку интенсивность входящего потока велика, можно исходить из предположения, что источник бесконечный.)

Решение

Для начала предположим, что будут работать три клерка, поскольку при одном или двух служащих будут образовываться бесконечно длинные очереди (исходя из того, что λ = 40, а μ = 20). В данном случае будут использованы уравнения для модели 3 (см. табл. 5.2). Но сначала необходимо получить среднее количество клиентов в очереди, для чего следует воспользоваться табл. 5.4. Воспользовавшись этой таблицей и выбрав значения λ/μ = 2 и М= 3, получаем значение n, = 0,8888 (механика).Таким образом, мы видим, что в среднем очередь на протяжении дня состоит из 0,8888 механика. Следовательно, если исходить из того, что рабочий день механика составляет 8 часов, а его работа стоит 12 долл. в час, получаем потери рабочего времени в долларовом выражении: 0,8888 механиках 12 долл. в день ч 8 часов = 85,32 долл.

Следующий этап заключается в определении времени ожидания в очереди при наличии еще одного клерка. Затем можно будет сравнить дополнительные затраты на использование дополнительного служащего со временем, сэкономленным механиками в результате его найма. В данном случае следует опять воспользоваться табл. 5.4, но выбрать показатель М = 4: n, = 0,1730 (механика в очереди). Получаем, что в этом случае затраты на одного механика, ожидающего в очереди, составят 0,1730 х 12 долл. ч 8 часов = 16,61 долл. Стоимость времени, сэкономленного механиками в результате введения дополнительного клерка: 85,32 долл. - 16,61 долл. = 68,71 долл.

Затраты на дополнительного клерка:

8часовх6долл.вчас=48долл. Сокращение затрат в результате ввода дополнительного клерка: 68,71 долл. - 48 долл. = 20,71 долл.

Данную задачу можно расширить, если учесть стоимость найма дополнительных рабочих, доставляющих запасные части механикам; в этом случае необходимо определить количество этих рабочих. Однако в таких условиях нужно также учесть дополнительную стоимость времени, потерянного вследствие ошибок в заявках на запасные части. Ведь если механик может определить, что для него выписана не та запасная часть, еще стоя у стойки клерка, то рабочий-подносчик такой возможности не имеет.

Пример 5д.4. Источник конечной генеральной совокупности Анализ работы четырех ткацких станков на текстильной фабрике компании Loose Knit показал, что в среднем каждая машина ежечасно нуждается в наладке и наладчику требуется на эту работу в среднем 7,5 минут. Исходя из распределения Пуассона входящего потока и экспоненциального распределения времени обслуживания, а также из того, что простой станка обходится в 40 долл. в час, определите, не следует ли компании нанять второго наладчика (при условии, что его скорость наладки также будет составлять 7,5 минут). Труд рабочего-наладчика оплачивается по 7 долл. в час.

Решение Эта задача связана с конечными очередями и решается она с использованием специальных таблиц параметров конечной генеральной совокупности, аналогичных табл. 5.5. В данном примере необходимо сравнить стоимость простоя станков (как во время ожидания наладки, так и в процессе обслуживания) и затраты на одного наладчика со стоимостью простоя станков и затратами на двух рабочих. Для этого следует определить среднее количество станков в сервисной системе и умножить это число на стоимость простоя в час. К полученному значению добавляются затраты на рабочую силу.

Прежде чем приступить к расчетам, следует привести условные обозначения параметров,

принятых в табл. 5.5 :

N--- количество станков в генеральной совокупности (размер популяции);

М --- количество наладчиков;

T--- время, необходимое для обслуживания одного станка;

 Скачать реферат