Проблемы очередей

Задача 1. Количество клиентов в очереди. Руководство банка хочет узнать, сколько клиентов ожидает в очереди к банковскому клерку, обслуживающему автомобилистов прямо в автомобилях; сколько времени им приходится ждать; насколько загружен клерк и какой должна быть интенсивность обслуживания, чтобы 95% времени в системе находилось не больше трех автомобилей.

Задача 2. Выбор оборудования. Франчайзинговое предприятие Robot Car Wash, специализирующееся на мойке автомобилей, должно решить, какое из трех доступных типов оборудования ему следует закупить. Более производительное оборудование стоит дороже, но быстрее обслуживает клиентов. Для принятия решения издержки следует сопоставить с доходам.

Задача 3. Определение необходимого количества каналов обслуживания. Агентству по ремонту автомобилей предстоит принять решение, сколько клерков необходимо нанять для работы с клиентами в офисе. Увеличение числа клерков влечет рост затрат на их содержание, но при этомодновременно возникает экономия вследствие уменьшения простоев механиков.

Задача 4. Конечная генеральная совокупность. Во всех предыдущих задачах рассматриваются ситуации с бесконечными генеральными совокупностями, а при решении задач с конечными очередями используются иные уравнения и формулы. Данная задача заключается в следующем: на фабрике всего четыре ткацких станка, которых в процессе эксплуатации должны обслуживать механики. Необходимо решить, сколько механиков следует нанять на работу с учетом затрат, связанных с простоями станков и затратами на оплату труда механиков.

Для очередей с одним каналом обслуживания этот показатель эквивалентен коэффициенту загрузки.

Пример 5д.1. Количество клиентов в очереди

Банк Western National Bank рассматривает возможность открытия пункта обслуживания клиентов в автомобилях.

Управленческий персонал оценил, что клиенты будут прибывать с интенсивностью 15 автомобилей в час. Клерк, назначенный на эту работу, может обслуживать их со скоростью один автомобиль в каждые три минуты.

Часть 1. Исходя из распределения Пуассона входящих заявок и экспоненциального распределения времени обслуживания, определите следующие значения.

1. Загрузка клерка.

2. Среднее количество клиентов, ожидающих в очереди.

3. Среднее количество клиентов в системе.

4. Среднее время ожидания в очереди.

5. Среднее время ожидания в системе, включая время обслуживания.

Решение.

Часть 1

1. Средняя загрузка клерка будет

2. Среднее количество клиентов, ожидающих в очереди

3. Среднее количество клиентов в системе

4. Среднее время ожидания в очереди

5. Среднее время ожидания в системе

Часть 2. Из-за ограниченности площади, стремясь обеспечить приемлемый уровень обслуживания, банковский менеджер хочет добиться 95%-ной гарантии того, что очередь в системе не будет превышать трех автомобилей. Какая интенсивность обслуживания соответствует данному пределу? Какой уровень загрузки клерка следует обеспечить и какая должна быть интенсивность обслуживания этого служащего, чтобы добиться 95%-ного уровня обслуживания?

Решение. Часть 2

Текущий уровень обслуживания для трех или меньше автомобилей представляет собой вероятность того, что в системе находится 1, 2 или 3 машины. Выбираем из табл. 5.2 для модели 1 расчетную формулу

Это уравнение можно решить методом проб и ошибок, путем подстановки разных значений для λ/μ. Так, при λ/μ = 0,50 получаем 0,5(1+0,5+ 0,25 + 0,125) = 0,9375, т.е. меньше заданного значения 0,95. При λ/μ = 0,45 получим (1 - 0,45)(1 + 0,45 + 0,203 + 0,091) = = 0,96, т.е. больше заданного значения 0,95. При λ/μ = 0,47 находим (1 - 0,47)(1 + 0,47 + 0,221 + 0,104) = = 0,9512, что приблизительно равно 0,95.

Таким образом, именно при загрузке с = λ/μ = 47% вероятность образования в системе очереди, состоящей из трех и меньше машин, составляет 95%.

Чтобы узнать, какая интенсивность обслуживания необходима для достижения этого 95%-ного уровня обслуживания, следует просто решить уравнение λ/μ = 0,47, где λ= 15--- интенсивность прибывающих в течение часа клиентов. Это дает значение μ = 32 в час. Таким образом, чтобы иметь 95%-ную уверенность в том, что в системе не будет находиться больше трех автомобилей, банковский клерк должен обслуживать по 32 человека в час (заметьте, что для этого необходимо 60%-ное повышение скорости обслуживания по сравнению с имеющейся, равной всего 20 человек в час). Обслуживание можно ускорить, изменив методы предоставления услуг, добавив еще одного клерка либо ограничив количество банковских операций, доступных в системе обслуживания водителей в автомобилях. Обратите внимание также на то, что при условии 95%-ной уверенности в том, что в системе не будет собираться больше трех автомобилей, клерк будет простаивать 53% времени. Пример 5д.2. Выбор оборудования Компания Robot на франчайзинговой основе предоставляет для эксплуатации комбинированные автозаправочно-автомоечные станции в разных точках США. Если клиент заправляется, его автомобиль моют бесплатно; если же он хочет только вымыть машину, с него взимается плата 0,50 доллара. Прошлый опыт работы показал, что на станцию приезжает практически равное количество тех водителей, которые хотят только вымыть машину, и тех, которые хотят прежде заправить ее. Средняя прибыль от заправки составляет 70 долларов, а стоимость мойки одной машины для компании--- 0,10 доллара. Компания Robot работает по 14 часов в день. Компания Robot предоставляет фирмам, получившим право на эксплуатацию станции, на выбор три типа заправочных блоков и моечных устройств, из которых нужно выбрать один. Оборудование первого типа может мыть по одной машине каждые пять минут и за его аренду необходимо платить 12 долл. в день. Оборудование второго типа несколько мощнее, оно способно работать с интенсивностью один автомобиль за каждые четыре минуты, но стоит оно уже 16 долл. в день. Аренда самого мощного оборудования третьего типа составляет 22 долл. в день, но оно может вымыть машину всего за три минуты. По оценке фирмы, клиенты не намерены ожидать в очереди на мойку машины больше пяти минут. Более длительное время ожидания приведет к потере компанией Robot объемов продаж бензина и прибыли

от мытья машин. Учитывая, что по предварительным оценкам входящий поток клиентов на мытье автомобиля составляет 10 единиц в час, определите, какое моечное оборудование следует выбрать компании.

 Скачать реферат