(7)
где ,
,
. Здесь векторное соотношение
предполагает выполнение равенств
при
. Принимая во внимание выбранную нами экстремальную стратегию обслуживания
, имеем:
Для изучения вероятностных свойств метки остановимся на некоторых свойствах условных распределений величин
и
. Полагаем что в этой модели при фиксированных значениях метки
случайные величины
и
независимы и их условные распределения при любом
и при
удовлетворяют соотношениям:
; (8.1)
(8.2)
(9)
где - целая часть величины
, а
,
- средняя интенсивность обслуживания заявок по потоку
если случайная среда на интервале
находится в состоянии
, здесь
- интенсивность пуассоновского поступления заявок по потоку
,
,
,
- параметры распределения Бартлетта,
- целая часть величины
.
6. Марковское свойство компоненты.
Итак, мы определили все компоненты нашей модели: входные потоки, алгоритм управления, потоки насыщения и экстремальную стратегию механизма обслуживания. В соответствии со структурой анализируемой системы управления 3 конфликтными потоками требований, максимальный интерес представляет исследование процессов обслуживания по потокам и
. Ключевое свойство дискретной компоненты процесса
можно сформулировать в виде следующей теоремы:
Теорема: Последовательности ,
и
при заданном распределении вектора
являются марковскими.
Доказательство: Докажем правильность утверждения для последовательности. Сообразно определению, данная последовательность будет марковской, если выполнено равенство
Где
Применяя формулу полной вероятности и принятые в данной модели основные свойства ее случайных элементов, получим:
для правой части доказываемого равенства из тех же соображений получим
Т.е. доказываемое равенство имеет место. Стало быть, случайная последовательность образует цепь Маркова с бесконечным счетным числом состояний.
Аналогично доказывается марковость последовательностей и
.
7. Рекуррентные формулы для одномерных распределений дискретной компоненты маркированного точечного процесса .
Исследуем свойства одномерных распределений
Здесь начальное распределение считается заданным. Получим рекурентные соотношения вида
, где
- бесконечномерная матрица переходных вероятностей за один шаг процесса
. Подробно рассмотрим вероятностные свойства последовательностей
и
. Из (7) нетрудно получить следующие, реккурентные по
соотношения для этих последовательностей: