Покажем, что не содержит других состояний, кроме отмеченных. Возьмём, к примеру, состояние
где
. Тогда по цепочке переходов
цепь Маркова
перейдёт из существенного состояния
в состояние
. Следовательно, состояние
является существенным и сообщающимся с
. Указанный переход возможен с положительной вероятностью, поскольку
и
. Аналогично доказывается, что возможен переход из
или
в любое другое состояние, не принадлежащие множеству
. Значит
. Поскольку состояние
достижимо из любого состояния
, то множество
не является замкнутым, а
содержит единственное замкнутое минимальное
. Из очевидного неравенства
следует, что все состояния из будут непериодическими (/8/ стр. 408). Лемма доказана.
Лемма 2. При любом начальном распределении векторной цепи Маркова
либо для всех
:
и в системе не существует стационарного распределения, либо существуют пределы:
такие, что
, и всистеме существует стационарное распределение.
Доказательство. Из структуры множества и из того, что
следует, что векторный случайный процесс
из произвольного состояния
с положительной вероятностью, не меньшей, чем
, за один шаг может достигнуть множества
. Обозначим через
вероятность того, что рассматриваемая цепь Маркова исходя из произвольного несущественного состояния
когда-либо достигнет некоторого существенного состояния из
. Известно, что величины
, являются решениями системы уравнений вида (8.6), приведённой в /8/ на стр. 392. Тогда, в силу неравенства
и леммы 1, эта система является вполне регулярной и имеет ограниченное решение
,
. В этом можно убедиться непосредсвенной подстановкой. По теореме 11 из /9/ это решение будет единственным. Отсюда на основании эргодической теоремы в главе 15 из /8/ получим утверждение доказываемой леммы.
Итак, ассимптотическое поведение одномерного распределения случайного векторного процесса
при
не зависит от начального распределения
.
Заключение.
В конце этой (весьма краткой) работы хочется подвести итог того, что нами было уже сделано:
Ø Была дана общая характеристика случайной среды, системы управления, приведена её функциональная схема;
Ø На содержательном уровне дано определение конфликтности и потоков насыщения системы;
Ø Приведено математическое описание составляющих элементов системы и построен маркированный случайный точечный процесс, моделирующий динамическое поведение системы;
Ø Была доказана теорема марковости выделенной дискретной компоненты процесса .
Ø Выведены рекуррентные формулы для одномерных распределений дискретной компоненты маркированного точечного процесса .