Введение в статистику

Величина зависимости между переменными в сравнении с надежностью зависимости. Как было уже сказано, величина зависимости и надежность представляют две различные характеристики зависимостей между переменными. Тем не менее, нельзя сказать, что они совершенно независимы. Говоря общим языком, чем больше величина зависимости (связи) между переменными в выборке обычного объема, тем более она надежна (см. следующий раздел).

Почему более сильные зависимости между переменными являются более значимыми. Если предполагать отсутствие зависимости между соответствующими переменными в популяции, то наиболее вероятно ожидать, что в исследуемой выборке связь между этими переменными также будет отсутствовать. Таким образом, чем более сильная зависимость обнаружена в выборке, тем менее вероятно, что этой зависимости нет в популяции, из которой она извлечена. Как вы видите, величина зависимости и значимость тесно связаны между собой, и можно было бы попытаться вывести значимость из величины зависимости и наоборот. Однако указанная связь между зависимостью и значимостью имеет место только при фиксированном объеме выборки, поскольку при различных объемах выборки одна и та же зависимость может оказаться как высоко значимой, так и незначимой вовсе (см. следующий раздел)

Почему объем выборки влияет на значимость зависимости. Если наблюдений мало, то соответственно имеется мало возможных комбинаций значений этих переменных и таким образом, вероятность случайного обнаружения комбинации значений, показывающих сильную зависимость, относительно велика. Рассмотрим следующий пример. Если вы исследуете зависимость двух переменных (Пол: мужчина/женщина и WCC: высокий/низкий) и имеете только 4 субъекта в выборке (2 мужчины и 2 женщины), то вероятность того, что чисто случайно вы найдете 100% зависимость между двумя переменными равна 1/8. Более точно, вероятность того, что оба мужчины имеют высокий WCC, а обе женщины - низкий WCC, или наоборот, - равна 1/8. Теперь рассмотрим вероятность подобного совпадения для 100 субъектов; легко видеть, что эта вероятность равна практически нулю. Рассмотрим более общий пример. Представим популяцию, в которой среднее значение WCC мужчин и женщин одно и тоже. Если вы будете повторять эксперимент, состоящий в извлечении пары случайных выборок (одна выборка - мужчины, другая выборка - женщины), а затем вычислите разности выборочных средних WCC для каждой пары выборок, то в большинстве экспериментов результат будет близок к 0. Однако время от времени, будут встречаться пары выборок, в которых различие между средним количеством лейкоцитов у мужчин и женщин будет существенно отличаться от 0. Как часто это будет происходить? Очевидно, чем меньше объем выборки в каждом эксперименте, тем более вероятно появление таких ложных результатов, которые показывают существование зависимости между полом и WCC в данных, полученных из популяции, где такая зависимость на самом деле отсутствует.

Пример: "отношение числа новорожденных мальчиков к числу новорожденных девочек" Рассмотрим следующий пример, заимствованный из Nisbett, et al., 1987. Имеются 2 больницы. Предположим, что в первой из них ежедневно рождается 120 детей, во второй только 12. В среднем отношение числа мальчиков, рождающихся в каждой больнице, к числу девочек 50/50. Однажды девочек родилось вдвое больше, чем мальчиков. Спрашивается, для какой больницы данное событие более вероятно? Ответ очевиден для статистика, однако, он не столь очевиден неискушенному. Конечно, такое событие гораздо более вероятно для маленькой больницы. Объяснение этого факта состоит в том, что вероятность случайного отклонения (от среднего) возрастает с уменьшением объема выборки.

Почему слабые связи могут быть значимо доказаны только на больших выборках. Пример из предыдущего раздела показывает, что если связь между переменными "объективно" слабая (т.е. свойства выборки близки к свойствам популяции), то не существует иного способа проверить такую зависимость кроме как исследовать выборку достаточно большого объема. Даже если выборка, находящаяся в вашем распоряжении, совершенно репрезентативна, эффект не будет статистически значимым, если выборка мала. Аналогично, если зависимость "объективно" (в популяции) очень сильная, тогда она может быть обнаружена с высокой степенью значимости даже на очень маленькой выборке. Рассмотрим пример. Представьте, что вы бросаете монету. Если монета слегка несимметрична, и при подбрасывании орел выпадает чаще решки (например, в 60% подбрасываний выпадает орел, а в 40% решка), то 10 подбрасываний монеты было бы не достаточно, чтобы убедить кого бы то ни было, что монета асимметрична, даже если был бы получен, казалось, совершенно репрезентативный результат: 6 орлов и 4 решки. Не следует ли отсюда, что 10 подбрасываний вообще не могут доказать что-либо? Нет, не следует, потому что если эффект, в принципе, очень сильный, то 10 подбрасываний может оказаться вполне достаточно для его доказательства. Представьте, что монета настолько несимметрична, что всякий раз, когда вы ее бросаете, выпадает орел. Если вы бросаете такую монету 10 раз, и всякий раз выпадает орел, большинство людей сочтут это убедительным доказательством того, что с монетой что-то не то. Другими словами, это послужило бы убедительным доказательством того, что в популяции, состоящей из бесконечного числа подбрасываний этой монеты орел будет встречаться чаще, чем решка. В итоге этих рассуждений мы приходим к выводу: если зависимость сильная, она может быть обнаружена с высоким уровнем значимости даже на малой выборке.

Можно ли отсутствие связей рассматривать как значимый результат? Чем слабее зависимость между переменными, тем большего объема требуется выборка, чтобы значимо ее обнаружить. Представьте, как много бросков монеты необходимо сделать, чтобы доказать, что отклонение от равной вероятности выпадения орла и решки составляет только .000001%! Необходимый минимальный размер выборки возрастает, когда степень эффекта, который нужно доказать, убывает. Когда эффект близок к 0, необходимый объем выборки для его отчетливого доказательства приближается к бесконечности. Другими словами, если зависимость между переменными почти отсутствует, объем выборки, необходимый для значимого обнаружения зависимости, почти равен объему всей популяции, который предполагается бесконечным. Статистическая значимость представляет вероятность того, что подобный результат был бы получен при проверке всей популяции в целом. Таким образом, все, что получено после тестирования всей популяции было бы, по определению, значимым на наивысшем, возможном уровне и это относится ко всем результатам типа "нет зависимости".

Как измерить величину зависимости между переменными. Статистиками разработано много различных мер взаимосвязи между переменными. Выбор определенной меры в конкретном исследовании зависит от числа переменных, используемых шкал измерения, природы зависимостей и т.д. Большинство этих мер, тем не менее, подчиняются общему принципу: они пытаются оценить наблюдаемую зависимость, сравнивая ее с "максимальной мыслимой зависимостью" между рассматриваемыми переменными. Говоря технически, обычный способ выполнить такие оценки заключается в том, чтобы посмотреть как варьируются значения переменных и затем подсчитать, какую часть всей имеющейся вариации можно объяснить наличием "общей" ("совместной") вариации двух (или более) переменных. Говоря менее техническим языком, вы сравниваете то "что есть общего в этих переменных", с тем "что потенциально было бы у них общего, если бы переменные были абсолютно зависимы". Рассмотрим простой пример. Пусть в вашей выборке, средний показатель (число лейкоцитов) WCC равен 100 для мужчин и 102 для женщин. Следовательно, вы могли бы сказать, что отклонение каждого индивидуального значения от общего среднего (101) содержит компоненту связанную с полом субъекта и средняя величина ее равна 1. Это значение, таким образом, представляет некоторую меру связи между переменными Пол и WCC. Конечно, это очень бедная мера зависимости, так как она не дает никакой информации о том, насколько велика эта связь, скажем относительно общего изменения значений WCC. Рассмотрим крайние возможности:

 Скачать реферат