Риск и теория игр

Основные понятия теории игр. Классификация игр

Предметом теории игр являются такие ситуации, в которых важную роль играют конфликты и совместные действия.

Конфликт может возникнуть в результате различия целей которые отражают не только несовпадающие интересы разных сторон, но и многочисленные интересы одного и того же лица. Например, ЛПР, формирующее экономическую политику фирмы, обычно преследует разнообразные цели, выдвигая противоречивые требования, предъявляемые к ситуации (рост объемов производства, повышение доходов, снижение экологической нагрузки и т. п.). Конфликт также может быть результатом действия тех или иных «стихийных сил», то есть внешнего окружения. Поэтому математическая модель, адекватно отражающая: любое социально-экономическое явление, должна отражать присущие ему черты конфликта, то есть описывать:

- множество заинтересованных сторон; в теории игр они называются игроками;

- возможные действия каждой из сторон, которые называются стратегиями, или ходами;

- интересы сторон, представляемые функциями выигрыши платежной матрицей

В теории игр предполагается, что функции выигрыша и множество стратегий, доступных каждому из игроков, общеизвестны то есть каждый игрок знает свою функцию выигрыша и набор I имеющихся в его распоряжении стратегий, а также функции выигрыша и стратегии остальных игроков, и в соответствии с : информацией организовывает свое поведение.

Различные виды игр можно классифицировать по различным признакам. К ним относятся:

- число игроков;

- число стратегий;

- свойства функции выигрыша;

- возможность предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.

В зависимости от числа игроков различают игры с двумя, тремя и более участниками. В принципе возможны также игры с бесконечным числом игроков. По количеству стратегий различают конечные и бесконечные игры. В конечных играх игроки располагают конечным числом возможных стратегий (например, игра «орел — решка»). Сами стратегии в конечных играх часто называют чистыми стратегиями. Соответственно, в бесконечных играх игроки имеют бесконечное число возможных стратегий (например, в ситуации продавец-покупатель при установлении цены на товар и его количества).

По свойствам функции выигрыша различают:

- антагонистические игры, или игры с нулевой суммой; в данном случае выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, то есть налицо прямой конфликт между игроками;

- игры с постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща;

- игры с ненулевыми суммами, где имеются и конфликты, и согласованные действия.

В зависимости от возможности предварительных переговоров между игроками различают кооперативные и некооперативные игры. Игра называется кооперативной, если до начала игры игроки образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях. Игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии, называются некооперативной. Очевидно, что все антагонистические игры могут служить примером некооперативных игр. Примером кооперативной игры может служить ситуация образования коалиций в парламенте для принятия решения путем голосования.

Игры с противником: формальное представление, выбор оптимальной стратегии

Любая игра задается функцией выигрыша, или платежной матрицей, которая в играх партнеров имеет следующий вид:

где i — стратегии строчного игрока;

j — стратегии столбцевого игрока;

aij — платежи столбцевого игрока при выборе им j-той стратегии строчному, если последний выбирает i-тую стратегию.

Если а,} > О, то столбцевой игрок платит строчному; если аij < о то строчный игрок платит столбцевому; если аij = О, никто никому не платит.

В качестве основного допущения в теории игр предполагается, что каждый игрок стремится обеспечить себе максимально возможный выигрыш при любых действиях партнера. Пусть имеется конечная антагонистическая игра с матрицей выигрышей строчного и столбцевого игроков. Строчный игрок считает, что какую бы стратегию он ни выбрал, столбцевой игрок выберет стратегию, максимизирующую свой выигрыш и тем самым минимизирующую выигрыш первого игрока. Поэтому для выбора оптимальной стратегии строчный игрок сначала в каждой выбирает минимальный элемент:

Затем, среди полученного столбца значений выбирав большее значение а, то есть

а считается нижней ценой игры, а стратегия, которую строчный игрок, — максиминной стратегией.

Аналогично, столбцевой игрок сначала в каждом столбце, выбирает наибольшее число

и оптимальной стратегией считает

β считается верхней ценой игры, стратегия, которую выбрал столбцевой игрок, называется минимаксной и, следовательно, а>β

Если а = β, то игра называется игрой с седловой точкой. Элемент, для которого выполняется условие аij = а = β, называется седловым элементом. Не всякая игра имеет седловую точку, но если она имеется, то стратегии игроков определяются однозначно.

Игры с «неживой» природой

Пусть в матрице игры строки означают возможные варианты решений, принимаемых игроком (им могут быть менеджер-руководитель и т. п.), столбцы — возможные состояния природы (Т. е. хозяйственной среды). Элемент матрицы аij, означает сумму платежа в ситуации, когда игрок принимает решение i , то есть выбирает стратегию i при состоянии природы j. В этом случае платежная матрица игры будет иметь вид:

 Скачать реферат